Question

已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是-(

2

，0)，(

2

，0)，離心率是

6

3

，直線y=t橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P，圓心為P．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用左、右焦點坐標和離心率是

6

3

，就可求出對應橢圓C的方程；
（Ⅱ）先把直線y=t與橢圓C的方程求出點M，N的橫坐標，進而求出圓的半徑，再利用圓P與x軸相切就可求出t以及圓心P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）因為

c

a

=

6

3

，且c=

2

，所以a=

3

，b=

a2-c2

=1
所以橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1
（Ⅱ）由題意知p（0，t）（-1＜t＜1）
由

y=t x2 3 +y2=1

得x=±

3(1-t2)

所以圓P的半徑為

3(1-t2)

解得t=±

3

2

所以點P的坐標是（0，±

3

2

）

點評：在求橢圓的標準方程時，一般是利用條件先求a，c，或b，c；再利用a，b，c之間的關系即可求出橢圓的標準方程．