Question

一束光線l自A（-3，3）發出，射到x軸上，被x軸反射到⊙C：x²+y²-4x-4y+7=0上．
（1）求反射線通過圓心C時，光線l的方程；
（2）求在x軸上，反射點M的范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，利用物理的光學知識可知入射光線上的任意一點關于x軸對稱的點必在其反射線上，由于反射線過圓心，有光線的可逆性知，反射線上的任意點圓心關于x軸對稱的點也必在入射光線上，然后由入射光線上已知兩點寫出所求的直線方程；
（2）由題意和（1）可知反射線必過定點A′（次點是點A關于x軸對稱的點），利用幾何知識知當反射線與已知圓相切時恰好為范圍的臨界狀態．

解答：解：⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1
（1）C關于x軸的對稱點C′（2，-2），過A，C′的方程：x+y=0為光線l的方程．
（2）A關于x軸的對稱點A′（-3，-3），設過A′的直線為y+3=k（x+3），當該直線與⊙C相切時，
有

|2k-2+3k-3|

1+k2

=1?k=

4

3

或k=

3

4

∴過A′，⊙C的兩條切線為y+3=

4

3

(x+3)，y+3=

3

4

(x+3)令y=0，得x1=-

3

4

，x2=1
∴反射點M在x軸上的活動范圍是[-

3

4

，1]

點評：（1）次問重點考查了物理學中光的知識，還考查了已知直線上的兩點求解直線的方程；
（2）次問重點考查了點關于線對稱點的求法，還考查了解決問題是抓住臨界狀態這一特殊位置求解的思想．