Question

【題目】已知函數（）．

（1）討論函數在定義域內的極值點的個數；

（2）若函數在處取得極值，（0，），恒成立，求實數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）時，在（0，）上沒有極值點；當時，在（0，）上有一個極值點.（2）

【解析】

（1）首先求得函數的定義域和導函數，對分成和兩種情況，討論的極值點個數.

（2）利用求得的值，將不等式分離常數，轉化為，構造函數利用導數求得的最小值，由此求得的取值范圍，進而求得實數的最大值.

（1）的定義域為（0，），

.

當時，在（0，）上恒成立，函數在（0，）上單調遞減.

∴在（0，）上沒有極值點.

當時，由，得；

由，得，

∴在（0，）上遞減，在（，）上遞增，即在處有極小值.

綜上，當時，在（0，）上沒有極值點；

當時，在（0，）上有一個極值點.

（2）∵函數在處取得極值，

∴，則，從而.

因此，

令，則，

令，得，

則在（0，）上遞減，在（，）上遞增，

∴，即.

故實數的最大值是.