Question

【題目】已知函數，

(1)若，求曲線在點處的切線方程；

(2)對任意的，，恒有，求正數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）求出函數的導數，進而求得，由點斜式直接寫出直線方程.

（2）求出2a+1的范圍，可得f（x）在[1，2]遞減，由題意可得原不等式即為對任意的a∈[，]，x1，x2∈[1，2]恒成立，令g（x）＝f（x），即有g（x1）＜g（x2），即為g（x）在[1，2]遞增，求出g（x）的導數，令導數大于等于0，再由一次函數的單調性可得只需以．

即x3﹣7x2+6x+λ≥0對x∈[1，2]恒成立，令h（x）＝x3﹣7x2+6x+λ，求出導數，求得單調區間和最小值，解不等式即可得到所求范圍．

（1），所以，又f(3)=,

所以由點斜式方程可得切線方程為.

（2），

當時，，所以在上為減函數，

不妨設則，等價于

所以，在，上恒成立。

令，則在上為增函數，所以在 上恒成立.

而化簡得，

所以，其中

因為，所以

所以只需，即x3﹣7x2+6x+λ≥0對x∈[1，2]恒成立，

令h（x）＝x3﹣7x2+6x+λ，h′（x）＝3x2﹣14x+6≤0在1≤x≤2恒成立，

則有h（x）在[1，2]遞減，可得h（2）取得最小值，且為﹣8+λ≥0，

解得λ≥8．

所以.