Question

如圖，設橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，，，的面積為.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）是否存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求圓的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在滿足條件的圓，其方程為.

試題分析：（1）由題設知其中
由,結合條件的面積為，可求的值，再利用橢圓的定義和勾股定理即可求得的值，從而確定橢圓的標準方程；
（2）假設存在圓心在軸上的圓，使圓在軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點；設圓心在軸上的圓與橢圓在軸的上方有兩個交點為由圓的對稱性可知，利用在圓上及確定交點的坐標，進而得到圓的方程.
解：（1）設，其中，
由得
從而故.
從而，由得，因此.
所以，故
因此，所求橢圓的標準方程為：

（2）如圖，設圓心在軸上的圓與橢圓相交，是兩個交點，，,是圓的切線，且由圓和橢圓的對稱性，易知
，
由（1）知，所以，再由得，由橢圓方程得，即，解得或.
當時，重合，此時題設要求的圓不存在.
當時，過分別與,垂直的直線的交點即為圓心，設
由得而故
圓的半徑
綜上，存在滿足條件的圓，其方程為：