Question

已知向量

a

=（2，0），

b

=（1，4）．
（Ⅰ）求|

a

+

b

|的值；
（Ⅱ）若向量k

a

+

b

與

a

+2

b

平行，求k的值；
（Ⅲ）若向量k

a

+

b

與

a

+2

b

的夾角為銳角，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求向量的坐標，即可求|

a

+

b

|的值；
（Ⅱ）確定向量k

a

+

b

，

a

+2

b

的坐標，利用平行的條件，即可求k的值；
（Ⅲ）向量k

a

+

b

與

a

+2

b

的夾角為銳角，則數量積大于0且不共線，即可求k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）依題意得

a

+

b

=（3，4），∴|

a

+

b

|=

32+44

=5
（Ⅱ）依題意得k

a

+

b

=（2k+1，4），

a

+2

b

=（4，8）
∵向量k

a

+

b

與

a

+2

b

平行
∴8×（2k+1）-4×4=0，解得k=

1

2

（Ⅲ）由（Ⅱ）得k

a

+

b

=（2k+1，4），

a

+2

b

=（4，8）
∵向量k

a

+

b

與

a

+2

b

的夾角為銳角，
∴4×（2k+1）+4×8＞0，且8×（2k+1）≠4×4
∴k＞-

9

2

且k≠

1

2

．

點評：本題考查向量知識的運用，考查向量模的計算，考查向量的共線，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．