Question

用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，則截面與底面之間的部分叫棱臺。
如圖，在四棱臺中，下底是邊長為的正方形，上底是邊長為1的正方形，側棱⊥平面，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求平面與平面夾角的余弦值.

Answer 1

以D為原點，以DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸，z軸建立空間直角坐標系D—xyz如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）.   
（Ⅰ）設由得到，進一步得到平面；（Ⅱ）二面角的余弦值為.

試題分析：以D為原點，以DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸，z軸建立空間直角坐標系D—xyz如圖，則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）.    3分

（Ⅰ）證明：設則有所以，，∴平面；   6分
（Ⅱ）解：
設為平面的法向量，

于是   8分
同理可以求得平面的一個法向量，   10分

∴二面角的余弦值為.    12分
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟。在空間垂直關系明確的情況下，通過建立適當的空間直角坐標系，利用向量可簡化證明過程。本題難度不大。