Question

【題目】已知函數， (為自然對數的底數).

(1)設曲線在處的切線為，若與點的距離為，求的值；

(2)若對于任意實數， 恒成立，試確定的取值范圍；

(3)當時，函數在上是否存在極值？若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 或 (2) (3)不存在

【解析】試題分析：

(1)該問切點橫坐標已知,則利用切點在曲線上,帶入曲線即可得到切點的縱坐標,對進行求導并得到在切點處的導函數值即為切線的斜率,有切線的斜率,切線又過切點,利用直線的點斜式即可求的切線的方程,利用點到直線的距離公式結合條件點到切線的距離為即可求的參數的值.

(2)該問為恒成立問題可以考慮分離參數法,即把參數a與x進行分離得到,則,再利用函數的導函數研究函數在區間的最大值,即可求的a的取值范圍.

(3)根據極值的定義,函數在區間有零點且在零點附近的符號不同,求導可得,設,求求導可以得到的導函數在區間恒為正數,則函數在區間上是單調遞增,即可得到函數進而得到恒成立,即在區間上沒有零點,進而函數沒有極值.

試題解析：

（1）, .

在處的切線斜率為， 1分

∴切線的方程為，即. 3分

又切線與點距離為,所以，

解之得， 或5分

（2）∵對于任意實數恒成立，

∴若，則為任意實數時， 恒成立； 6分

若 恒成立，即，在上恒成立， 7分

設則, 8分

當時， ，則在上單調遞增；

當時， ，則在上單調遞減；

所以當時， 取得最大值， ， 9分

所以的取值范圍為.

綜上，對于任意實數恒成立的實數的取值范圍為. 10分

（3）依題意, ，

所以, 2分

設,則,當,

故在上單調增函數,因此在上的最小值為，

即， 12分

又所以在上， ，

即在上不存在極值. 14分