Question

（1）選修4-2矩陣與變換：
已知矩陣M=

.

2 a 2 1

.

，其中a∈R，若點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P′（-4，0）．
①求實數a的值；
②求矩陣M的特征值及其對應的特征向量．
（2）選修4-4參數方程與極坐標：
已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是

x= 2 2 t+m y= 2 2 t

（t是參數）．若l與C相交于AB兩點，且AB=

14

．
①求圓的普通方程，并求出圓心與半徑；
②求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）①根據點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P′（-4，0），利用矩陣與平面列向量的乘法，即可確定a的值；
②求出矩陣M的特征多項式，得矩陣M的特征值，進而可得特征向量；
（2）①曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程為x²+y²-4x=0，即可求得結論；
②化直線l的參數方程為普通方程，求出圓心到直線l的距離，利用弦長建立方程，即可得到結論．

解答：解：（1）①∵點P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點P′（-4，0）．
∴

2 a 2 1

1 -2

=

-4 0

，∴2-2a=-4，∴a=3．（3分）
②由①知M=

2 3 2 1

，則矩陣M的特征多項式為f（λ）=|

λ-2 -3 -2 λ-1

|=λ²-3λ-4（5分）
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為-1與4．（6分）
當λ=-1時，∵

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

，∴x+y=0
∴矩陣M的屬于特征值-1的一個特征向量為

1 -1

；  （8分）
當λ=4時，∵

(λ-2)x-3y=0 -2x+(λ-1)y=0

，∴2x-3y=0
∴矩陣M的屬于特征值4的一個特征向量為

3 2

． （10分）
（2）①曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程為x²+y²-4x=0，圓心坐標為（2，0），半徑R=2．
②直線l的普通方程為y=x-m，則圓心到直線l的距離d=

4-( 14 2 )2

=

2

2

所以

|2-0-m|

2

=

2

2

，可得|m-2|=1，解得m=1或m=3．

點評：本題考查選修知識，考查矩陣與變換，考查學生分析解決問題的能力，把握方法是關鍵．