Question

【題目】楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（1623-1662）是在1654年發現這一規律的.我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，這是我國數學史上的一個偉大成就.如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項，依次構成數列，則此數列前135項的和為( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用n次二項式系數對應楊輝三角形的第n+1行，然后令x＝1得到對應項的系數和，結合等比數列和等差數列的公式進行轉化求解即可．

n次二項式系數對應楊輝三角形的第n+1行，

例如（x+1）2＝x2+2x+1，系數分別為1，2，1，對應楊輝三角形的第3行，令x＝1，就可以求出該行的系數之和，

第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推

即每一行數字和為首項為1，公比為2的等比數列，

則楊輝三角形的前n項和為Sn2n﹣1，

若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數為1，2，3，4，……，可以看成一個首項為1，公差為1的等差數列，

則Tn，

可得當n＝15，在加上第16行的前15項時，所有項的個數和為135，

由于最右側為2，3，4，5，……，為首項是2公差為1的等差數列，

則第16行的第16項為17，

則楊輝三角形的前18項的和為S18＝218﹣1，

則此數列前135項的和為S18﹣35﹣17＝218﹣53，

故選：A．