Question

【題目】某學校為了解高一新生的體能情況，在入學后不久，組織了一次體能測試，按成績分為優秀、良好、一般、較差四個檔次.現隨機抽取120名學生的成績，其條形圖如下：

（1）將優秀、良好、一般歸為合格，較差歸為不合格，試根據條形圖完成下面的2×2列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為學生的成績與性別有關.

	合格	不合格	合計
男生
女生
合計

（2）學校為了解學生以前參加課外活動的情況，利用分層抽樣的方法從120名學生中抽取24名學生參加一個座談會.

①座談會上抽取2名學生匯報以前參加課外活動的情況，求恰好抽到測試成績一個優秀與一個較差的學生的概率；

②為全面提高學生的體能，學校專門安排專職教師對全校測試成績較差的學生在課外活動時進行專項訓練，通過一段時間的訓陳后，測試合格率達到了.若某班有4名學生參加這個專項訓陳，求訓練后測試合格人數ξ的分布列與數學期望.

附：K2，其中n＝a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

【答案】（1）列聯表見解析，能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為學生的成績與性別有關；（2）①，②分布列見解析，

【解析】

（1）計算觀測值，結合臨界值表可得；

（2）①由條形圖可知：優秀：良好：一般：較差=5：12：3：4，所以從120名學生中抽取24人，其中優秀抽取5人，良好抽取12人，一般抽取3人，較差抽取4人．所以恰好抽到測試成績一個優秀與一個較差的學生的概率 ； ②依題意測試合格人數ξ服從二項分布，即，根據二項分布的概率公式可得分布列和數學期望．

(1)列聯表如下：

	合格	不合格	合計
男生	70	5	75
女生	30	15	45
合計	100	20	120

k214.4，

∵14.4>6.635，

∴能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為學生的成績與性別有關

(2)由條形圖可知：優秀：良好：一般：較差＝25：60：15：20＝5：12：3：4，

所以從120名學生中抽取24人，其中優秀抽取5人，良好抽取12人，一般抽取3人，較差抽取4人.

①所以恰好抽到測試成績一個優秀與一個較差的學生的概率.

②依題意測試合格人數ξ服從二項分布，即ξ～B(4，)，∴

∴P(ξ＝0)014，

P(ξ＝1)3，

P(ξ＝2)22，

P(ξ＝3)3，

P(ξ＝4)4，

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P

E(ξ)＝01234.