Question

已知斜率為1的直線l與雙曲線相交于B、D兩點，且BD的中點為M（1，3）．
（1）求雙曲線C的離心率；
（2）若雙曲線C的右焦點坐標為（3，0），則以雙曲線的焦點為焦點，過直線g：x-y+9=0上一點M作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點M應在何處？并求出此時的橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設知：l的方程為y=x+2，代入雙曲線，得：（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則，，由M（1，3）為BD的中點，知，由此能求出雙曲線C的離心率．
（Ⅱ）雙曲線的左、右焦點為F₁（-3，0），F₂（3，0），點F₁關于直線g：x-y+9=0的對稱點F的坐標為（-9，6），直線FF₂的方程為x+2y-3=0，故交點M（-5，4）．由此能求出橢圓的方程．
解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題設知：l的方程為y=x+2，代入雙曲線，并化簡得：
（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0，（*）…（2分）
設B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則，，…（4分）
由M（1，3）為BD的中點，知，故，
即b²=3a²．故c=2a，∴e=2．…（6分）
（Ⅱ）雙曲線的左、右焦點為F₁（-3，0），F₂（3，0），點F₁關于直線g：x-y+9=0①
的對稱點F的坐標為（-9，6），直線FF₂的方程為x+2y-3=0，②…（8分）
解方程組①②得：交點M（-5，4），…（9分）
此時|MF₁|+|MF₂|最小，所求橢圓的長軸，
∴a=3，…（11分）
∵c=3，∴b²=36，故所求橢圓的方程為．…（12分）
點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，考查橢圓方程的求法，具有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．