Question

【題目】對于定義域為的函數，如果存在區間，同時滿足：

①在上是單調函數；

②當定義域是時，的值域也是．

則稱是該函數的“等域區間”．

（1）求證：函數不存在“等域區間”；

（2）已知函數（，）有“等域區間”，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數不存在“等域區間”；（2）．

【解析】

試題分析：（1）設是已知函數定義域的子集，得或，得函數在上單調遞增，由是已知函數的“等域區間”，得無實數根，即可證明結論；（2）設是已知函數定義域的子集，得函數在上單調遞增，根據題意得的同號的相異實數根，利用二次函數的性質，即可求解實數的取值范圍．

試題解析：（1）設是已知函數定義域的子集．

∵，∴，或，

故函數在上單調遞增．

若是已知函數的“等域區間”，則

故、是方程的同號的相異實數根．

∵無實數根，

∴函數不存在“等域區間”．

（2）設是已知函數定義域的子集，

∵，∴或，

故函數在上單調遞增．

若是已知函數的“等域區間”，則

故、是方程，即的同號的相異實數根．

∵，∴，同號，故只需，

解得，

∴實數的取值范圍為．