Question

設(shè)項數(shù)均為（）的數(shù)列、、前項的和分別為、、.已知，且集合=.
（1）已知，求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求和的值，并寫出兩對符合題意的數(shù)列、；
（3）對于固定的，求證：符合條件的數(shù)列對（，）有偶數(shù)對.

Answer 1

（1）；（2）時，數(shù)列、可以為（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，時，數(shù)列對（，）不存在.（3）證明見解析．

試題分析：（1）這實質(zhì)是已知數(shù)列的前項和，要求通項公式的問題，利用關(guān)系來解決；
（2）注意到，從而，又，故可求出，，這里我們應(yīng)用了整體思維的思想，而要寫出數(shù)列對（，），可通過列舉法寫出；（3）可通過構(gòu)造法說明滿足題意和數(shù)列對是成對出現(xiàn)的，即對于數(shù)列對（，），構(gòu)造新數(shù)列對，（），則數(shù)列對（，）也滿足題意，（要說明的是及=且數(shù)列與，與不相同（用反證法，若相同，則，又，則有均為奇數(shù)，矛盾）．
試題解析：（1）時，
時，，不適合該式
故，                       4分
（2）

又

得，=46，=26                                   8分
數(shù)列、可以為：
① 16,10,8,12；14,6,2,4      ② 14,6,10,16；12,2,4,8
③ 6,16,14,10；4,12,8,2      ④ 4,14,12,16；2,10,6,8
⑤ 4,12,16,14；2,8,10,6      ⑥ 16,8,12,10；14,4,6,2            10分
（3）令，（）        12分

又=，得

=
所以，數(shù)列對（，）與（，）成對出現(xiàn)。         16分
假設(shè)數(shù)列與相同，則由及，得，，均為奇數(shù)，矛盾！
故，符合條件的數(shù)列對（，）有偶數(shù)對。               18分項和與的關(guān)系；（2）整體思想與列舉法；（3）構(gòu)造法．