Question

已知函數f(x)=2x+

a

x

的定義域為（0，2]（a為常數）．
（1）證明：當a≥8時，函數y=f（x）在定義域上是減函數；
（2）求函數y=f（x）在定義域上的最大值及最小值，并求出函數取最值時x的值．

Answer 1

分析：（1）利用單調性的定義證明函數y=f（x）在定義域上是減函數：先設x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，2]再比較f（x₁）與f（x₂）的大小即得f（x）是減函數；
（2）先對字母a分類討論：①當a=0，②當a＜0時，③當a＞0且

a 2

≤2即0＜a≤8時，④當a＞0且

a 2

＞2即a＞8時，分別求出函數的最大值及求出函數取最值時x的值即可．

解答：解：（1）x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，2]f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(2x1x2-a)

x1x2

因為x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，2]
所以x₁-x₂＜0，2x₁x₂＜8≤a，2x₁x₂-a＜0f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
所以f（x）是減函數
（2）①當a=0，f（x）=x，f（x）是增函數
所以x=2，max=f(2)=4+

a

2

，無最小值
②當a＜0時，f（x）是增函數
所以x=2，fmax=f(2)=4+

a

2

，無最小值
③當a＞0且

a 2

≤2即0＜a≤8時，所以x=

a 2

，min=2

2a

，無最大值
④當a＞0且

a 2

＞2即a＞8時
所以x=2，min=4+

a

2

，無最大值

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數的最值及其幾何意義、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．