Question

已知一幾何體的三視圖如圖（甲）示，（三視圖中已經(jīng)給出各投影面頂點(diǎn)的標(biāo)記）
（1）在已給出的一個(gè)面上（圖乙），畫出該幾何體的直觀圖；
（2）設(shè)點(diǎn)F、H、G分別為AC，AD，DE的中點(diǎn)，
求證：FG∥平面ABE；
（3）求該幾何體的全面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三視圖判斷該幾何體是底面為正方形的直四棱柱，AC垂直底面．
（2）利用三角形的中位線性質(zhì)證明線面平行，進(jìn)而證明面面平行，再利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行．
（3）棱錐的全面積等與各個(gè)面的面積之和，先證各個(gè)側(cè)面都是直角三角形，計(jì)算出各個(gè)側(cè)面的面積．

解答：解：（1）該幾何體的直觀圖如圖示：
（2）證明：由圖（甲）知四邊形CBED為正方形
∵F、H、G分別為AC，AD，DE的中點(diǎn)
∴FH∥CD，HG∥AE
∵CD∥BE∴FH∥BE
∵BE?面ABE，F(xiàn)H?面ABE
∴FH∥面ABE
同理可得 HG∥面ABE
又∵FH∩HG=H
∴平面FHG∥平面ABE
又∵FG?面FHG
∴FG∥平面ABE

（3）由圖甲知AC⊥CD，AC⊥BC，BC⊥CD
∴CD⊥平面ACB，
∴CD⊥AB
同理可得ED⊥AD
∵S_△ACB=S_△ACD，S_△ABE=S_△ADE=

1

2

×2×2

2

=2

2

，S_CBED=4，
∴該幾何體的全面積
S=S_△ACB+S_△ACD+S_△ABE+S_△ADE+S_CBED=2+2+4

2

+4=4（2+

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用三視圖判斷幾何體的形狀，求幾何體的表面積，證明線面垂直．