Question

已知一幾何體的三視圖如圖，主視圖與左視圖為全等的等腰直角三角形，直角邊長為6，俯視圖為正方形，（1）求點A到面SBC的距離；（2）有一個小正四棱柱內接于這個幾何體，棱柱底面在面ABCD內，其余頂點在幾何體的棱上，當棱柱的底面邊長與高取何值時，棱柱的體積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

分析：先由其三視圖得到原圖形為一直四棱錐，高為6，底面是邊長為6的正方形，頂點在點A的正上方．
（1）直接過做AE⊥SB于E，根據BC⊥AB以及其為直四棱錐先得到BC⊥AE；再結合AE⊥SB，即可知道求點A到面SBC的距離即為求AE的長，最后在RT△SAB中求出AE的長即可；
（2）先畫出大致圖象，根據相似比找到高和底面邊長之間的慣技，代入體積計算公式，結合導函數知識即可求出當棱柱的底面邊長與高取何值時，棱柱的體積最大，并求出這個最大值．

解答：解：由其三視圖得：原圖形為一直四棱錐，高為6，底面是邊長為6的正方形，頂點在點A的正上方．如圖①．
（1）過A做AE⊥SB于E，
因為BC⊥AB，且為直棱錐
所以BC⊥面SAB⇒BC⊥AE   
所以有AE⊥面SCB．
在RT△SAB中，因為兩直角邊均為6，而且 AE為斜邊上的高，所以AE=3

2

．
∴點A到面SBC的距離：3

2

．
（2）如圖②，設AF=a，KF=h．
則有

KF

AB

=

SF

SA

⇒KF=SF⇒6-h=a．
所以所求體積：V=S•h=a²•h=a²•（6-a）=6a²-a³．
∴V′=12a-3a²=3a（4-a）．
當a＞4時，V′＜0，
當0＜a＜4時，V′＞0．
∴當a=4時，此時h=2，體積V取最大值，其最大值為：V=6×4²-4³=32．
所以當棱柱的底面邊長為4，高為2時，棱柱的體積最大，最大值為32．

點評：本題主要考查學生對空間幾何體三視圖的理解，考查學生的空間想象能力以及運算求解能力．由三視圖還原空間幾何體的實際形狀，一般先從正視圖和俯視圖考慮，再結合側視圖進行綜合分析．