Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A₁在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB₁與底面ABC所成角的正弦值等于（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  3

• C、

  3

  3

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：先求出點(diǎn)A₁到底面的距離A₁D的長(zhǎng)度，即知點(diǎn)B₁到底面的距離B₁E的長(zhǎng)度，再求出AE的長(zhǎng)度，在直角三角形AEB₁中求AB₁與底面ABC所成角的正切，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出其正弦．

解答：解：由題意不妨令棱長(zhǎng)為2，如圖，A₁在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，故DA=

2 3

3

，
由勾股定理得A₁D=

4- 4 3

=

2 6

3

故B₁E=

2 6

3

，如圖作A₁S⊥AB于中點(diǎn)S，
易得A₁S=

3

，所以AB₁=

( 3 )2+( 3)2

=2

3

，
所以AB₁與底面ABC所成角的正弦值sin∠B₁AE=

2 6 3

2 3

=

2

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何體的結(jié)構(gòu)特征及線面角的定義，還有點(diǎn)面距與線面距的轉(zhuǎn)化，考查了轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力．