Question

在正三棱錐P-ABC中，D為PA的中點，O為△ABC的中心，給出下列四個結論：①OD∥平面PBC；  ②OD⊥PA；③OD⊥BC；  ④PA=2OD．其中正確結論的序號是

③④

．

Answer 1

分析：取BC中點M，連接AM，PM，則O∈AM．由AO=2OM，OD與PM不平行，故OD不平行于平面PBC；由OA≠OP，D為PA中點，知OD與PA不垂直；同P-ABC為正三棱錐，知BC⊥PM，BC⊥AM，所以OD⊥BC；由PO垂直于平面ABC，OA屬于平面ABC，知PO垂直于OA，△AOP為直角三角形，所以PA=2OD．

解答：解：取BC中點M，連接AM，PM，
則O∈AM．
∵AO=2OM，
∴OD與PM不平行，
∴OD∥平面PBC不成立，即①錯誤；
∵OA≠OP，D為PA中點，
∴OD⊥PA不成立，即②錯誤；
∵P-ABC為正三棱錐，
∴BC⊥PM，BC⊥AM，
∴BC⊥面APM，
∴OD⊥BC，即③成立；
∵PO垂直于平面ABC，OA屬于平面ABC
∴PO垂直于OA
∴三角形AOP為直角三角形
∵D為AP中點
∴PA=2OD，即④成立．
故答案為：③④．

點評：本題考查棱錐的結構特征，解題時要認真審題，仔細解答，注意觀察，熟練掌握棱錐的性質．