Question

定義在R上的函數f（x）滿足：對任意實數m，n，總有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）試求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的單調性并證明你的結論；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）-f（k-2t²）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在f（m+n）=f（m）•f（n）中令m=1，n=0，即可求得f（0）的值；
（2）要判斷f（x）的單調性，可任取x₁，x₂∈R，且設x₁＜x₂，可證得f（x₂）-f（x₁）＜0，從而可判斷f（x）的單調性；
（3）由（2）知，f（t²-2t）-f（k-2t²）＜0恒成立?k＜3t²-2t（t∈R）?k＜（3t²-2t）_min，從而可求k的取值范圍．
解答：解：（1）在f（m+n）=f（m）•f（n）中令m=1，n=0，得：f（1）=f（1）•f（0）
因為f（1）≠0，所以，f（0）=1．
（2）要判斷f（x）的單調性，可任取x₁，x₂∈R，且設x₁＜x₂．
在f（m+n）=f（m）•f（n）中取m+n=x₂，m=x₁，
則f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，
∴0＜f（x₂-x₁）＜1
為比較f（x₂），f（x₁）的大小，只需考慮fx₁（ ）的正負即可．
在在f（m+n）=f（m）•f（n）中令m=x，n=-x，則得f（x）-f（-x）=1．
∵x＞0時0＜f（x）＜1，
∴當x＜0時，f（x）=＞1＞0．
又f（0）=1，所以，綜上，可知，對于任意x₁∈R，均有f（x₁）＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0．
∴函數f（x）在R上單調遞減．
（3）不等式即f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（2）知函數f（x）在R上單調遞減，
∴t²-2t＞k-2t²，
∴k＜3t²-2t，其中t∈R．
∴k＜（3t²-2t）_min，而3t²-2t=3-≤，
∴k＜-，即k的取值范圍是（-∞，-）．
點評：本題考查抽象函數及其應用，考查賦值法，考查函數單調性的判定，考查轉化思想與方程思想，考查邏輯推理與綜合應用能力，屬于難題．