Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，求證：函數(shù)有兩個不相等的零點， ，且.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間即解導數(shù)大于零求得增區(qū)間，導數(shù)小于零求得減區(qū)間（2）函數(shù)有兩個不同的零點，先分析函數(shù)單調(diào)性得零點所在的區(qū)間， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∵， ， ，∴函數(shù)有兩個不同的零點，且一個在內(nèi)，另一個在內(nèi).

不妨設(shè)， ，要證，即證， 在上是增函數(shù)，故，且，即證. 由，得 ，

令 ， ，得在上單調(diào)遞減，∴，且∴， ，∴，即∴，故得證

解析：（1）當時， ，得，

令，得或.

當時， ， ，所以，故在上單調(diào)遞減；

當時， ， ，所以，故在上單調(diào)遞增；

當時， ， ，所以，故在上單調(diào)遞減；

所以在， 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）證明：由題意得，其中，

由得，由得，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∵， ， ，

∴函數(shù)有兩個不同的零點，且一個在內(nèi)，另一個在內(nèi).

不妨設(shè)， ，

要證，即證，

因為，且在上是增函數(shù)，

所以，且，即證.

由，得 ，

令 ， ，

則 .

∵，∴， ，

∴時， ，即在上單調(diào)遞減，

∴，且∴， ，

∴，即∴，故得證.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以平面直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，設(shè)直線的極坐標方程為.

（1）求曲線和直線的普通方程；

（2）設(shè)為曲線上任意一點，求點到直線的距離的最值.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）最大值為，最小值為

【解析】試題分析：（1）根據(jù)參數(shù)方程和極坐標化普通方程化法即易得結(jié)論的普通方程為；直線的普通方程為.（2）求點到線距離問題可借助參數(shù)方程，利用三角函數(shù)最值法求解即可故設(shè)， .即可得出最值

解析：（1）根據(jù)題意，由，得， ，

由，得，

故的普通方程為；

由及， 得，

故直線的普通方程為.

（2）由于為曲線上任意一點，設(shè)，

由點到直線的距離公式得，點到直線的距離為

.

∵ ，

∴ ，即 ，

故點到直線的距離的最大值為，最小值為.