Question

（2008•海珠區一模）已知拋物線D的頂點是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
（1）求拋物線D的方程；
（2）已知動直線l過點P（4，0），交拋物線D于A、B兩點，坐標原點O為PQ中點，求證：∠AQP=∠BQP；
（3）是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，設拋物線方程為y²=2px（p＞0）．由a²-b²=4-3=1，得c=1．由此能求出拋物線D的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于O為PQ之中點，故當l⊥x軸時由拋物線的對稱性知∠AQP=∠BQP，當l不垂直x軸時，設l：y=k（x-4），由

y=k(x-4) y2=4x

，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，由此能夠證明∠AQP=∠BQp．
（3）設存在直線m+x=a滿足題意，則圓心M(

x1+4

2

，

y1

2

)，過M作直線x=a的垂線，垂足為E，故|EG|²=|MG|²-|ME|²，由此能夠導出存在直線m：x=3滿足題意．

解答：（本小題滿分14分）
（1）解：由題意，可設拋物線方程為y²=2px（p＞0）．
由a²-b²=4-3=1，得c=1．
∴拋物線的焦點為（1，0），∴p=2．
∴拋物線D的方程為y²=4x．…（4分）
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于O為PQ之中點，故當l⊥x軸時，由拋物線的對稱性知，一定有∠AQP=∠BQP，
當l不垂直x軸時，設l：y=k（x-4），
由

y=k(x-4) y2=4x

，得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，
∴

x1+x2= 4(2k2+1) k2 x1x2=16

，
∵kAQ=

y1

x1+4

=

k(x1-4)

x1+4

，
kBQ=

y2

x2+4

=

k(x2-4)

x2+4

，
∴kAQ+kBQ=

k(2x1x2-32)

(x1+4)(x2+4)

=

k(2•16-32)

(x1+4)(x2+4)

=0，
∴∠AQP=∠BQP．
綜上證知，∠AQP=∠BQP
（3）解：設存在直線m+x=a滿足題意，
則圓心M(

x1+4

2

，

y1

2

)，
過M作直線x=a的垂線，垂足為E，
∴|EG|²=|MG|²-|ME|²，
即|EG|²=|MA|²-|ME|²
=

(x1-4)2+y12

4

-(

x1+4

2

-a)2
=

1

4

y12+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+a(x1+4)-a2
=x1-4x1+a(x1+4)-a2
=(a-3)x1+4a-a2，
當a=3時，|EG|²=3，
此時直線m被以AP為直徑的圓截得的弦長恒為定值2

3

．…（13分）
因此存在直線m：x=3滿足題意…（14分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，直線和拋物線的位置關系，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．