Question

已知命題p：不等式x²+kx+1≥0對(duì)于一切x∈R恒成立，命題q：已知方程x²+（2k-1）x+k²=0有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根，若p且q為真，p或q為假．求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題p，q成立的等價(jià)條件，利用p且q為真，p或q為假．確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：要使不等式x²+kx+1≥0對(duì)于一切x∈R恒成立，
則△=k²-4≤0，解得-2≤k≤2，即p：-2≤k≤2，
若方程x²+（2k-1）x+k²=0有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根，
設(shè)f（x）=x²+（2k-1）x+k²，
則滿足條件

△=(2k-1)2-4k2≥0 - 2k-1 2 ＞1 f(1)＞0

即

k≤ 1 4 k＜- 1 2 k＜-2或k＞10

，
解得k＜-2，即q：k＜-2．
要使p且q為真，p或q為假，則p，q一真一假．
①若p真q假，則

-2≤k≤2 k＜2

，解得-2≤k＜2．
②若p假q真，則

k≤-2或k≥2 k＜-2

，解得k＜-2．
綜上：k≤2．
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題之間的關(guān)系，利用條件先求出p，q成立的等價(jià)條件是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．