Question

（14分）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．

（1）用表示，并求的最大值；

（2）判斷當時，的大小，并證明．

 

Answer 1

【答案】

（1）．

（2）．證明見解析。

【解析】(I)設(shè)公共點為,然后利用導數(shù)求出此點處的切線，根據(jù)切線重合.解出切點的橫坐標，從而可找到b關(guān)于a的表達式.然后再利用導數(shù)研究其最值即可.

（2）本小題可構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)研究其最值，從而比較出f(x)與g(x)的大小關(guān)系.

（1）設(shè)與在公共點處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，則．于是

當，即時，；當，即時，．

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

于是在的最大值為．

（2）設(shè)，

則．

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

于是函數(shù)在上的最小值是.

故當時，有，即當時，．