Question

已知定義在正實數集上的函數f(x)=

1

2

x2+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0，設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求證：f（x）≥g（x）（x＞0）．

Answer 1

分析：（I）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在切點處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．最后用a表示b，利用導數的工具求b的最大值，從而問題解決．
（II）先設F（x）=f（x）-g（x），利用導數研究此函數的單調性，欲證f（x）≥g（x）（x＞0），只須證明F（x）在（0，+∞）上的最小值是0即可．

解答：解：（Ⅰ）設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同，
∵f′（x）=x+2a，g′(x)=

3a2

x

，
由題意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）

1 2 x02+2ax=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

，
由x0+2a=

3a2

x0

得x₀=a，x₀=-3a（舍去）即有b=

1

2

a2+2a2-3a2lna=

5

2

a2-3a2lna（3分）
令h(t)=

5

2

t2-3t2lnt(t＞0)，則h′（t）=2t（1-3lnt）
當t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

時，h'（t）＞0；
當t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

時，h'（t）＜0．
故h（t）在(0，e

1

3

)為增函數，在(e

1

3

，+∞)為減函數，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h(e

1

3

)=

3

2

e

2

3

（6分）

（Ⅱ）設F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-b(x＞0)，
則F'（x）=x+2a-

3a2

x

=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)（10分）
故F（x）在（0，a）為減函數，在（a，+∞）為增函數，
于是函數F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x₀）=f（x₀）-g（x₀）=0．
故當x＞0時，有f（x）-g（x）≥0，即當x＞0時，f（x）≥g（x）（12分）

點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．