Question

【題目】己知函數， ＋1．

（1）若，曲線y＝f（x）與在x＝0處有相同的切線，求b；

（2）若，求函數的單調遞增區間；

（3）若對任意恒成立，求b的取值區間

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）當時，曲線與在處的有相同的切線方程，可得，即可求的值；（2）設,求出， 求得 的范圍，可得函數增區間， 求得 的范圍，可得函數的減區間；（3）當時，令，分兩種情況討論，利用導數研究函數的單調性，求出最大值 ，進而可得結果.

試題解析：（1） ， ， ， ，

f(x) 與g(x) 在x＝0處有相同的切線， .

（2）若，則y＝f(x)g(x)= ，

所以

又，

所以函數y＝f(x)g(x)的單調遞增區間為

（3） 由a＝0，則， ，

①當時， ，函數在單調遞增，

又， 時， ，即恒成立.

②當時， ， ； ，

函數在單調遞減； 單調遞增，

（ⅰ）當時， ，又， ，

而當時， ，則，

與相矛盾.

（ⅱ）當時， ， 函數在單調遞減，

，與矛盾.

故的取值區間為.

【方法點晴】本題主要考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的最值、不等式的恒成立和導數的幾何意義，屬于難題．利用導數研究函數的單調性進一步求函數最值的步驟：①確函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區間；令，解不等式得 的范圍就是遞減區間；④根據單調性求函數的極值及最值（閉區間上還要注意比較端點處函數值的大小）.