Question

在下列由正數排成的數表中，每行上的數從左到右都成等比數列，并且所有公比都等于q，每列上的數從上到下都成等差數列．a_ij表示位于第i行第j列的數，其中，a₄₂=1，．

（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求a_ij的計算公式；
（Ⅲ）設數列{b_n}滿足b_n=a_nn，{b_n}的前n項和為S_n，試比較S_n與T_n=（ n∈N^*）的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設第4列公差為d，則．
故，于是．
由于a_ij＞0，所以q＞0，故．（3分）
（Ⅱ）在第4列中，．
由于第i行成等比數列，且公比，
所以，．（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知．即b_n=．
所以S_n=b₁+b₂+b₃++b_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃++a_nn．
即，
故．
兩式相減，得=，
所以．（8分）
設f（x）=2--（x＞0），
即f（x）=2--=2-=2-（2+x）2^-x．
因為f′（x）=-[2^-x+（2+x）2^-x（-1）ln2]=2^-x[（2+x）ln2-1]
=2^-x[ln2^2+x-lne]=2^-xln，
且當x＞0時，x+2＞2．所以2^2+x＞2²=4．
于是＞＞1．
所以ln＞0．
又2^-x＞0，
所以在（0，+∞）上f′（x）=2^-xln＞0．
因此函數f（x）=2--在（0，+∞）單調遞增．
所以（n∈N*）是遞增數列．（10分）
同理設g（x）=（x＞0），
因為g′（x）=•=-＜0（x＞0），
故g（x）=在（0，+∞）單調遞減．
所以T_n=（n∈N*）是遞減數列．（12分）
容易計算S₁=f（1）=，S₂=f（2）=1，S₃=f（3）=1，S₄=f（4）=1，
T₁=g（1）=1，T₂=g（2）=1，T₃=g（3）=1，T₄=g（4）=1，
顯然S₁＜T₁，S₂＜T₂，S₃＜T₃，S₄＞T₄，
所以當n≤3時，S_n＜T_n；當n＞3時，S_n＞T_n．（14分）
分析：（Ⅰ）利用和求出a₄₄，再利用每行上的數從左到右都成等比數列，并且所有公比都等于q來求公比即可．
（Ⅱ）先求出a_i4，然后在利用第i行成等比數列，且公比，即可求出a_ij的計算公式；
（Ⅲ）有（Ⅱ）的結論求出b_n的通項，再利用錯位相減法求出S_n，然后研究出S_n與T_n=對應的函數的單調性，利用單調性來比較S_n與T_n=的大小即可．
點評：本題是對等差數列和等比數列的綜合考查．并考查了數列求和的錯位相減法．以及數列與函數的綜合．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．