Question

在下列由正數排成的數表中，每行上的數從左到右都成等比數列，并且所有公比都等于q，每列上的數從上到下都成等差數列．表示位于第行第列的數，其中，，．

					…		…
					…		…
					…		…
					…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
					…		…
…	…	…	…	…	…	…	…

（Ⅰ） 求的值；

（Ⅱ） 求的計算公式；

（Ⅲ）設數列｛b_n｝滿足b_n=a_nn，｛b_n｝的前項和為，試比較與T_n= ( n∈N*) 的大小，并說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）設第4列公差為，則．

故，于是．

由于，所以，故．

（Ⅱ）在第4列中，．

由于第行成等比數列，且公比，

所以， ．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知．即b_n=．

所以.

即，

故．

兩式相減，得

，

所以． 

設f(x)=2-- ( x >0)，

即f(x)=2--=2-=2-(2+ x)2^-x.

因為f ′(x)= -[2^-x+(2+ x)2^-x(-1)ln2]= 2^-x[(2+ x)ln2-1]

         =2^-x[ln2^{2+ x} - lne]=2^-xln，

且當x>0時，x+2>2. 所以2^{2+ x}>2²= 4.

于是>>1.

所以ln>0.

又2^-x>0，

所以在(0，+∞)上f ′(x) =2^-xln>0.

因此函數f(x)=2--在(0，+∞)單調遞增.

所以 ( n∈N*)是遞增數列. 

同理設g(x)=( x >0)，

因為g′(x)=?= -<0  ( x >0)，

故g(x)=在(0，+∞)單調遞減.

所以T_n=( n∈N*)是遞減數列. 

容易計算S₁=f(1)=，S₂=f(2)=1，S₃=f(3)=1，S₄=f(4)=1，

T₁= g(1)=1，T₂= g(2)=1，T₃= g(3)=1，T₄= g(4)=1，

顯然S₁< T₁，S₂< T₂，S₃< T₃，S₄> T₄，

所以當n≤3時，<T_n；當n>3時，>T_n.