Question

已知函數(shù)，．

（1）若，判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；

（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若存在實數(shù)使得關于的方程有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）奇函數(shù)，（2），(3)

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)奇偶性的判定，一要判定定義域是否關于原點對稱，二要判定與是否相等或相反，（2）函數(shù) 是分段函數(shù)，每一段都是二次函數(shù)的一部分，因此研究 單調(diào)性，必須研究它們的對稱軸，從圖像可觀察得到實數(shù) 滿足的條件： ，(3)研究方程根的個數(shù)，通常從圖像上研究，結合（2）可研究出函數(shù)圖像.分三種情況研究，一是上單調(diào)增函數(shù)，二是先在上單調(diào)增，后在上單調(diào)減，再在上單調(diào)增，三是先在上單調(diào)增，后在上單調(diào)減，再在上單調(diào)增.

試題解析：（1）函數(shù)為奇函數(shù)．[來

當時，，，∴

∴函數(shù)為奇函數(shù)； 3分

（2），當時，的對稱軸為：；

當時，的對稱軸為：；∴當時，在R上是增函數(shù)，即時，函數(shù)在上是增函數(shù)； 7分

（3）方程的解即為方程的解．

①當時，函數(shù)在上是增函數(shù)，∴關于的方程不可能有三個不相等的實數(shù)根； 9分

②當時，即，∴在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∴當時，關于的方程有三個不相等的實數(shù)根；即，∵∴．

設，∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數(shù)根， ∴，又可證在上單調(diào)增

∴∴； 12分

③當時，即，∴在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，

∴當時，關于的方程有三個不相等的實數(shù)根；

即，∵∴，設

∵存在使得關于的方程有三個不相等的實數(shù)根，

∴，又可證在上單調(diào)減∴

∴； 15分

綜上：． 16分

考點：函數(shù)奇偶性，函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)與方程.