Question

（理）設a＞0，a≠1為常數，函數
（1）討論函數f（x）在區間（-∞，-5）內的單調性，并給予證明；
（2）設g（x）=1+log_a（x-3），如果方程f（x）=g（x）有實數解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設t=，任取x₂＜x₁＜-5，則
t₂-t₁=-
=
=．
∵x₁＜-5，x₂＜-5，x₂＜x₁，
∴x₁+5＜0，x₂+5＜0，x₂-x₁＜0．
∴＜0，即t₂＜t₁．
當a＞1時，y=log_ax是增函數，∴log_at₂＜log_at₁，即f（x₂）＜f（x₁）；
當0＜a＜1時，y=log_ax是減函數，∴log_at₂＞log_at₁，即f（x₂）＞f（x₁）．
綜上可知，當a＞1時，f（x）在區間（-∞，-5）為增函數；
當0＜a＜1時，f（x）在區間（-∞，-5）為減函數．
（2）g（x）=1+log_a（x-3）=log_aa（x-3），
方程f（x）=g（x）等價于：
即方程在區間（5，+∞）上有解，
∵=
∴函數F（x）=在區間（5，5+2）上導數大于零，在區間（5+2，+∞）導數小于零
可得F（x）=在區間（5，5+2）上單調增，在區間（5+2，+∞）單調減
∴F（x）的最大值為F（5+2）=，而F（x）的最小值大于F（5）=0
要使方程方程在區間（5，+∞）上有解，必須a∈（0，）
所以a的取值范圍是：（0，）
分析：（1）將對數的真數當成一個函數，可以用定義證明它在區間（-∞，-5）內的單調性，再討論底數a與1的大小關系得到相應的情況下真數的大小關系，即可得函數f（x）在區間（-∞，-5）內的單調性；
（2）化函數g（x）=1+log_a（x-3））為g（x）=log_aa（x-3），方程f（x）=g（x）即為它們的真數都大于零且相等，采用變量分離的方法，轉化為求函數F（x）=在區間（5，+∞）上的值域，實數a的取值范圍就應該屬于這個值域．
點評：本題著重考查了函數單調性的判斷與證明、根的存在性及根的個數判斷等知識點，在解題時應該注意分類討論與數形結合等數學思想的應用．