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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

斜率為-1的直線過(guò)拋物線y²=-2px，（p＞0）的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8．
（1）求拋物線的方程．
（2）求∠AOB的余弦值．

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）AB的方程：y=-x-

與y²=-2px聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|AB|=8，即可求拋物線的方程．
（2）利用向量的數(shù)量積公式，即可求∠AOB的余弦值．

解答： 解：（1）拋物線y²=-2px，（p＞0）的焦點(diǎn)F（-

，0）
直線AB的方程：y=-x-

與y²=-2px聯(lián)立，并消去x得，y²-2px-p²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則

y1+y2=2p

y1y2=-p2

，
∴|AB|=

1+(

-1

•

(y1+y2)2-4y1y2

•

4p2+4p2

=4p
又|AB|=8，∴4P=8，p=2
∴拋物線方程為：y²=-4x…（6分）
（2）由（1）知，

y1+y2=4

y1y2=-4

，

=(x1，y1)，

=(x2，y2)，
∴cos＜

，

＞=

•

|•|

x1x2+y1y2

x12+y12

•

x22+y22

y12y22

+y1y2

y14

+y12

•

y24

+y22

1-4

y14y24

162

+y12y22+

y14y22+y12y24

-3

1+16+

y12y22(y12+y22)

-3

17+(y1+y2)2-2y1y2

-3

17+16+8

，
∴∠AOB的余弦值為-

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x=16，則輸出x的值為

．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2，0），B（1，3），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

=α

+β

（α+β=1），N（1，0），則|

|的最小值為（　　）

A、

B、

C、

D、

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知2013年2月10日春節(jié)．某蔬菜基地2013年2月2日有一批黃瓜進(jìn)入市場(chǎng)銷售，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)測(cè)黃瓜的價(jià)格f（x）（單位：元/kg）與時(shí)間x（x表示距2月10日的天數(shù)，單位：天，x∈（0，8]且x∈N^*）的數(shù)據(jù)如下表：

時(shí)間x	8	6	2
價(jià)格f（x）	8	4	20

（Ⅰ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述黃瓜價(jià)格f（x）與上市時(shí)間x的變化關(guān)系：f（x）=
ax+b，f（x）=ax²+bx+c，f（x）=a•b^x，其中a≠0；并求出此函數(shù)；
（Ⅱ）在日常生活中，黃瓜的價(jià)格除了與上市日期相關(guān)，與供給量也密不可分．已知供給量h（x）=

（x∈N^*）．在供給量的限定下，黃瓜實(shí)際價(jià)格g（x）=f（x）•h（x）．求黃瓜實(shí)際價(jià)格g（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某校在兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)方式對(duì)比試驗(yàn)，兩個(gè)月后進(jìn)行了一次檢測(cè)，試驗(yàn)班與對(duì)照班成績(jī)統(tǒng)計(jì)如2×2列聯(lián)表所示（單位：人）．

	80及80分以上	80分以下	合計(jì)
試驗(yàn)班	35	15	50
對(duì)照班	20	m	50
合計(jì)	55	45

（1）求m，n；
（2）你有多大把握認(rèn)為“教學(xué)方式與成績(jī)有關(guān)系”？
參考公式及數(shù)據(jù)：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，
其中n=a+b+c+d為樣本容量．

p（K²≥k）	…	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001	…
k	…	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828	…

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=x³-ax²+1，是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）在區(qū)間[0，

]上為減函數(shù)，且在區(qū)間（

，1]上是增函數(shù)？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)A（1，1），B（1，-1），C（

cosθ，

sinθ）（θ∈R），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若實(shí)數(shù)m，n滿足m

，求m²+n²；
（2）問(wèn)原點(diǎn)O能否成為△ABC的重心？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的焦點(diǎn)是F₁（-2

，0），F(xiàn)₂（2

，0），其上的動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4

．點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C的下頂點(diǎn)為R．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁：y=x+2與橢圓C的交于A，B兩點(diǎn)，求過(guò)O，A，B三點(diǎn)的圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)過(guò)點(diǎn)（0，1）且斜率為k的直線l₂交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，試證明：無(wú)論k取何值時(shí)，

•

恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-2（a+1）x+a-2，且f（0）=2a，當(dāng)a＞2時(shí)，求不等式f（x）＜0的解集．

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