Question

【題目】已知CD是等邊三角形ABC的AB邊上的高,E,F分別是AC和BC邊的中點(diǎn),現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.

(1)求直線BC與平面DEF所成角的余弦值;

(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE?證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊三角形ABC的邊長為，可得直線BC的方向向量和平面EDF的法向量=(3,-,3)，設(shè)直線BC與平面DEF所成角為，則有，然后再求出，即為所求．（2）假設(shè)在線段BC上存在一點(diǎn),使得AP⊥DE，則由=可得P，于是，由可得，符合題意，進(jìn)而得到結(jié)論．

(1)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DB,DC分別為x軸,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a,則A,B,C,E,F,

設(shè)平面EDF的法向量為,

則

取=(3,-,3).

又因?yàn)?/span>,

設(shè)直線BC與平面DEF所成角為，

則，

所以，

即直線BC與平面DEF所成角的余弦值等于.

(2)假設(shè)在線段BC上存在一點(diǎn),使AP⊥DE,

令=,

即=λ,

則P,

于是.

因?yàn)锳P⊥DE,

所以，

整理得λa2-a2=0,

解得，符合題意.

故線段BC上存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE.