Question

.已知圓O：x²+y²=b²與直線l：y=

3

(x-2)相切．
（1）求以圓O與y軸的交點為頂點，直線在x軸上的截距為半長軸長的橢圓C方程；
（2）已知點A(1，

3

2

)，若直線與橢圓C有兩個不同的交點E，F，且直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數；問直線的斜率是否為定值？若是求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為直線l：y=

3

(x-2)在x軸上的截距為2，所以a=2．由直線與圓相切得

|-2 3 |

( 3 )2+(-1)2

=

3

=b由此能求出橢圓方程．
（2）設直線AE方程為y=k(x-1)+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0．設E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），因為點A(1，

3

2

)在橢圓上，所以xE=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，yE=-kxE+

3

2

-k．由此能求出直線EF的斜率為

1

2

．

解答：解：（1）因為直線l：y=

3

(x-2)在x軸上的截距為2，
所以a=2，…（2分）
直線的方程變為

3

x-y-2

3

=0，
由直線與圓相切得

|-2 3 |

( 3 )2+(-1)2

=

3

=b…（4分）
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（2）設直線AE方程為y=k(x-1)+

3

2

，…（6分）
代入

x2

4

+

y2

3

=1得：(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0…（8分）
設E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），
因為點A(1，

3

2

)在橢圓上，
所以xE=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，yE=-kxE+

3

2

-k…（10分）
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數，
同理可得：xF=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，
yF=-kxF+

3

2

+k…（12分）
所以直線EF的斜率為kEF=

yF-yE

xF-xE

=

-k(xE+xF)+2k

xF-xE

=

1

2

…（14分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識和圓的簡單性質，解題時要注意合理地進行等價轉化．