Question

【題目】如圖，點C在以AB為直徑的圓上運動，PA⊥平面ABC，且PA＝AC，D，E分別是PC，PB的中點．

（1）求證：PC⊥平面ADE．

（2）若二面角C﹣AE﹣B為60°，求直線AB與平面ADE所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）30°．

【解析】

（1）由已知可得BC⊥平面PAC，進而有DE⊥平面PAC，可得DE⊥PC，再由已知可得AD⊥PC，即可證明結論；

（2）設PA＝AC＝1，設BC＝t，建立以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，過點C作的平行線為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面ACE的法向量和平面ABE的法向量，結合已知求出，求出坐標，用線面角公式即可求解.

（1）證明：∵點C在以AB為直徑的圓上運動，PA⊥平面ABC，

∴BC⊥PA，BC⊥AC，∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，

∵D，E分別是PC，PB的中點，∴DE∥BC，

∴DE⊥平面PAC，又PC平面PAC，∴DE⊥PC，

∵PA＝AC，D是PC中點，∴AD⊥PC，

∵DE∩AD＝D，∴PC⊥平面ADE．

（2）以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，

過點C作的平行線為z軸，建立空間直角坐標系，

設PA＝AC＝1，設BC＝t，則A（0，1，0），B（t，0，0），

C（0，0，0），P（0，1，1），E（），

（t，﹣1，0），（0，﹣1，0），（，），

設平面ACE的法向量（x，y，z），

則，取x＝1，得（1，0，﹣t），

設平面ABE的法向量（x，y，z），

則，取x＝1，得（1，t，0），

∵二面角C﹣AE﹣B為60°，

∴cos60°，解得t＝1，（t＝﹣1，舍），

∴B（1，0，0），（﹣1，1，0），

由（1）得為平面ADE的法向量

設直線AB與平面ADE所成角的大小為θ，

則sinθ，∴θ＝30°，

∴直線AB與平面ADE所成角的大小為30°．