Question

【題目】已知橢圓：與軸交于，兩點，為橢圓的左焦點，且是邊長為2的等邊三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，點關于軸的對稱點為（與，都不重合），判斷直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）,證明見詳解

【解析】

(1)由題意可得,由△是邊長為2的等邊三角形,可得,,進而得到橢圓方程;

(2)設出直線的方程和,的坐標,則可知的坐標,進而表示出的直線方程,再聯立方程與橢圓方程,即可把代入求得,結合韋達定理進行化簡,進而得出直線與軸交于定點.

(1)由題意可得,,,

,

由△是邊長為2的等邊三角形,可得,

,即,

則橢圓的方程為;

(2)由題可知直線的斜率不為0,故設直線的方程為:,

聯立,

得,即(),

設,,,,則,,

又,,

經過點,,,的直線方程為,

令,則,

又,.

當時,.

故直線與軸交于定點.