Question

（2011•南通一模）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

(n∈N*)．

Answer 1

分析：先證明n=1時(shí)，結(jié)論成立，再設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，等式成立，利用假設(shè)證明n=k+1時(shí)，等式成立即可．

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1×2×3=6，右邊=

1×2×3×4

4

=6=左邊，∴等式成立．
（2）設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，等式成立，
即1×2×3+2×3×4+…+k×(k+1)×(k+2)=

k(k+1)(k+2)(k+3)

4

．  
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）

= k(k+1)(k+2)(k+3) 4 +(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)( k 4 +1)= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) 4 = (k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3) 4 .

∴n=k+1時(shí)，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式對(duì)于任意n∈N^*成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，證題的關(guān)鍵是利用歸納假設(shè)證明n=k+1時(shí)，等式成立，屬于中檔題．