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（2011•南通一模）選修4-5：不等式選講
設n∈N*，求證：
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
≤
n(2n-1)
．
分析：要證原結論成立，只需證兩端平方后的式子成立即可，左端利用基本不等式放縮后，整理即可證得．
解答：證明：要證
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
≤
n(2n-1)
，
只需證兩端平方后的式子成立，
即證
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
+2
C
1
n
•
C
2
n
+2
C
1
n
•
C
3
n
+…+2
C
1
n
•
C
n
n
+2
C
2
n
•
C
3
n
+2
C
2
n
•
C
4
n
+…+2
C
n-1
n
•
C
n
n
≤n（2n-1）成立．
而左端=
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
+2
C
1
n
•（
C
2
n
+
C
3
n
+…+
C
n
n
）+2
C
2
n
（
C
3
n
+
C
4
n
+…+
C
n
n
）+…+2
C
n-1
n
•
C
n
n

≤
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
+[（
C
1
n
+
C
2
n
）+（
C
1
n
+
C
3
n
）+…+（
C
1
n
+
C
n
n
）]+[（
C
2
n
+
C
3
n
）+（
C
2
n
+
C
4
n
）+…+（
C
2
n
+
C
n
n
）]+…+（
C
n-1
n
+
C
n
n
）
=
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
+（n-1）
C
1
n
+（n-1）
C
2
n
+（n-1）
C
3
n
+…+（n-1）
C
n
n

=
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
+（n-1）（
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
）
=n（
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
）
=n（
C
0
n
+
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
-
C
0
n
）
=n（2n-1）成立．
∴原不等式
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
≤
n(2n-1)
成立（證畢）．
點評：本題考查不等式的證明，著重考查分析法與放縮法的綜合應用，考查分析與推理能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•南通一模）設m，n為空間的兩條直線，α，β為空間的兩個平面，給出下列命題：
（1）若m∥α，m∥β，則α∥β；
（2）若m⊥α，m⊥β，則α∥β；
（3）若m∥α，n∥α，則m∥n；
（4）若m⊥α，n⊥α，則m∥n．
上述命題中，所有真命題的序號是
（2），（4）
（2），（4）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•南通一模） 選修4-1：幾何證明選講
銳角三角形ABC內接于⊙O，∠ABC=60°，∠BAC=40°．作OE⊥AB交劣弧
AB
于點E，連接EC，求∠OEC．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•南通一模）選修4-2：矩陣與變換
曲線C1：x2+2y2=1在矩陣M=
12
01
的作用下變換為曲線C2，求C2的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•南通一模）選修4-4：坐標系與參數方程
P為曲線C1：
x=1+cosθ
y=sinθ
（θ為參數）上一點，求它到直線C2：
x=1+2t
y=2
（t為參數）距離的最小值．

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同步練習冊答案
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