Question

已知曲線C₁的方程是kx-y+4-2k=0（k∈R），曲線C₂的方程是

4-x2

+1-y=0，給出下列結論：
①曲線C₁：恒過定點（2，4）； 
②曲線C₂的圖形是一個圓；
③k∈(

3

4

，+∞)時，C₁與C₂只有一個公共點； 
④若k=0時，則C₁與C₂必無公共點．
其中正確結論的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①利用直線的方程判斷．②將曲線C₂的方程進行化簡判斷．③利用直線與圓的位置關系判斷．④利用直線與圓的位置關系判斷．

解答：解：∵曲線C₁的方程是kx-y+4-2k=0，
∴k（x-2）+4-y=0，表示過定點A（2，4）的直線，∴①正確．
∵C₂的方程是

4-x2

+1-y=0，
∴

4-x2

=y-1，（y≥1），
∴平方得x²+（y-1）²=4，表示以（0，1）為圓心，半徑r=2的上半圓，∴②錯誤．
③當x=-2時，y=1，即B（-2，1），
此時過A，B直線的斜率k=

4-1

2-(-2)

=

3

4

，由圖象可知當k∈(

3

4

，+∞)時，C₁與C₂只有一個公共點，∴③正確．
④當k=0時，曲線C₁的方程是y=4，
此時曲線C₂的最大值為3，
∴則C₁與C₂無公共點，∴④正確．
故正確結論的序號是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查直線與圓的方程以及直線與圓的位置關系的判斷，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．