Question

若正數a,b,c滿足a+b+c=1,

(1)求證:≤a2+b2+c2<1.

(2)求++的最小值.

 

Answer 1

(1)見解析 (2)

【解析】(1)由已知易得0<a,b,c<1,則a-a2=a(1-a)>0,即a>a2.

同理可得b>b2,c>c2,則a2+b2+c2<a+b+c=1,

由柯西不等式可得(a2+b2+c2)(1+1+1)≥(a+b+c)2=1(當且僅當a=b=c時取“=”),

即有a2+b2+c2≥(當a=b=c=時取“=”),

綜上有≤a2+b2+c2<1.

(2)由a+b+c=1,

可得(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)=5,

且2a+1,2b+1,2c+1均為正數,

則++=(++)(2a+1+2b+1+2c+1),

由柯西不等式可得(++)(2a+1+2b+1+2c+1)

≥(++

)2=9(當且僅當a=b=c時取“=”),

故++的最小值為,

等號當且僅當a=b=c=時取到.