Question

已知關于x的函數y=

x2+1+c

x2+c

（1）若c=-1，求該函數的值域．
（2）當c滿足什么條件時，該函數的值域為[2，+∞）？說明你的理由．
（3）求證：若c＞1，則y≥

1+c

c

．

Answer 1

分析：（1）換元法：令t=

x2-1

，則利用基本不等式即可得到值域；
（2）使函數有意義，再利用不等式，
即可得到函數的值域為[2，+∞）時，c需滿足的條件；
（3）換元后，做差來比較y與

1+c

c

的大小關系．

解答：解：由于y=

x2+1+c

x2+c

，若令t=

x2+c

，則y=t+

1

t

（1）當c=-1時，t=

x2-1

＞0
則y=

x2+1-1

x2-1

=t+

1

t

≥2

t• 1 t

=2
當且僅當t=

1

t

即x=±

2

時等號成立，
∴該函數的值域為[2，+∞）；
（2）當c≤1時，該函數的值域為[2，+∞）．理由如下：
y=t+

1

t

（t＞0），
∴y≥2
當且僅當t=

1

t

即x=±

1-c

時等號成立，
∴該函數的值域為[2，+∞）；
（3）證：由于y=t+

1

t

(t≥

c

)
則y-

1+c

c

=

t2+1

t

-

1+c

c

=

c t2+ c -t-ct

c •t

═

( c t-1)(t- c )

c •t

∵t≥

c

，∴t-

c

≥0
又由

c

t≥c＞1，∴

c

t-1＞0
∴y≥

1+c

c

（當且僅當x=0時等號成立）

點評：本題考查了函數值域的求法，換元后利用基本不等式解決簡單的求值域問題要熟練掌握．