Question

已知關于x的函數y=f(x)=a

x

3

+b

x

2

+cx+d，x∈R（a，b，c，d為常數且a≠0），f'（x）=0是關于x的一元二次方程，根的判別式為△，給出下列四個結論：
①△＜0是y=f（x）在（-∞，+∞）為單調函數的充要條件；
②若x₁、x₂分別為y=f（x）的極小值點和極大值點，則x₂＞x₁；
③當a＞0，△=0時，f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
④當c=3，b=0，a∈（0，1）時，y=f（x）在[-1，1]上單調遞減．
其中正確結論的序號是

 

．（填寫你認為正確的所有結論序號）

Answer 1

分析：根據函數單調性與其導數之間的關系，可得①不正確，而③是正確的；當a＞0且f'（x）=0有兩個不相等的實數根時，可得極小值對應的x比極大值對應的x大，故②不正確；當c=3，b=0，a∈（0，1）時，可得f'（x）≥3恒為正數，因此函數y=f（x）在[-1，1]上單調遞增，故④不正確．

解答：解：對于①，y=f（x）在（-∞，+∞）為單調函數的充要條件是f'（x）恒為正負數或非正數，故△≤0，可得①不正確；
對于②，當a＞0時，設x₂，x₁是方程f'（x）=0的兩個根，可得f'（x）在（-∞，x₂）和（x₁，+∞）上符號為正，在（x₂，x₁）上符號為負，因此在（-∞，x₂）和（x₁，+∞）上f（x）為增函數，在（x₂，x₁）上為減函數，故x₁、x₂分別為y=f（x）的極小值點和極大值點，但x₂＜x₁，因此②不正確；
對于③，當a＞0，△=0時，f'（x）在R上恒為非負數，因此函數f（x）沒有減區間，故f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，得到③正確；
對于④，當c=3，b=0時，f'（x）=3ax²+3，因為a∈（0，1）為正數，可得f'（x）=3ax²+3≥3恒為正數，所以y=f（x）在R上單調遞增，故y=f（x）在[-1，1]上也單調遞增，故④不正確．
故答案為：③

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了對數函數的單調性與導數的關系和三次多項式函數的單調性等概念，屬于中檔題．