Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足8S_n＝a＋4a_n＋3(n∈N^*)，且a₁，a₂，a₇依次是等比數列{b_n}的前三項．
(1)求數列{a_n}及{b_n}的通項公式；
(2)是否存在常數a＞0且a≠1，使得數列{a_n－log_ab_n}(n∈N^*)是常數列？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）a_n＝4n－3，b_n＝5^n－1.（2）

(1)n＝1時，8a₁＝＋4a₁＋3，a₁＝1或a₁＝3.(2分)
當n≥2時，8S_n－1＝＋4a_n－1＋3，
a_n＝S_n－S_n－1＝(＋4a_n－－4a_n－1)，
從而(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1－4)＝0
因為{a_n}各項均為正數，所以a_n－a_n－1＝4.(6分)
所以，當a₁＝1時，a_n＝4n－3；當a₁＝3時，a_n＝4n－1.
又因為當a₁＝1時，a₁，a₂，a₇分別為1,5,25，構成等比數列，
所以a_n＝4n－3，b_n＝5^n－1.
當a₁＝3時，a₁，a₂，a₇分別為3,7,27，不構成等比數列，舍去．(11分)
(2)假設存在a，理由如下：(12分)
由(1)知，a_n＝4n－3，b_n＝5^n－1，從而
a_n－lon_ab_n＝4n－3－log_a5^n－1＝4n－3－(n－1)·log_a5＝(4－log_a5)n－3＋log_a5.
由題意，得4－log_a5＝0，所以a＝.(16分)