Question

記f（x）=ax²-bx+c，若不等式f（x）＞0的解集為（1，3），試解關于t的不等式f（|t|+8）＜f（2+t²）．

Answer 1

分析：由已知不等式的解集及二次函數的性質，得到f（x）=a（x-1）（x-3），且a小于0，二次函數在[2，+∞）是增函數，由所求不等式自變量都大于等于2，利用增函數的性質列出關于t的不等式，求出不等式的解集即可得到t的范圍．

解答：解：由題意知f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）=a（x-1）（x-3），
且a＜0，二次函數在區間[2，+∞）是減函數，
又因為|t|+8＞8，2+t²≥2，
故由二次函數的單調性知不等式f（|t|+8）＜f（2+t²），
等價于|t|+8＞2+t²，
∴|t|²-|t|-6＜0，即（|t|-3）（|t|+2）＜0，
解得：0＜|t|＜3
解得：-3＜t＜3，且t≠0．

點評：此題考查了一元二次不等式的解法，涉及的知識有：二次函數的性質，以及其他不等式的解法，熟練掌握二次函數的性質是解本題的關鍵．