Question

如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，且

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，則

xy

x+y

的值為

 

．

Answer 1

分析：由G為三角形的重心得到

AG

=

1

3

(

AB

+

AB

)，再結合

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，根據M，G，N三點共線，易得到x，y的關系式，即可得到結論．

解答：解：根據題意G為三角形的重心，
∴

AG

=

1

3

(

AB

+

AB

)，

MG

=

AG

-

AM

=

1

3

(

AB

+

AC

)-x

AB

=(

1

3

-x)

AB

+

1

3

AC

，

GN

=

AN

-

AG

=y

AC

-

AG

=y

AC

-

1

3

(

AB

+

AC

)=(y-

1

3

)

AC

-

1

3

AB

，
由于

MG

與

GN

共線，根據共線向量基本定理知，存在實數λ，使得

MG

=λ

GN

，
即(

1

3

-x)

AB

+

1

3

AC

=λ[(y-

1

3

)

AC

-

1

3

AB

]，
∴

1 3 -x=- 1 3 λ 1 3 =λ(y- 1 3 )

，
消去λ得x+y-3xy=0，
∴x+y=3xy，
即

xy

x+y

=

1

3

．
故選B．

點評：本題主要考查了三角形重心的性質，以及向量的基本定理和向量在幾何中的應用，屬于中檔題．