Question

已知．
（I）求函數(shù)f（x）的最小值；
（ II）當(dāng)x＞2a，證明：．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣ = ．
當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取得極小值也是最小值f（a）= a²﹣a²lna．
（Ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（2a，+∞）單調(diào)遞增，
則所證不等式等價(jià)于f（x）﹣f（2a）﹣ a（x﹣2a）＞0．
設(shè)g（x）=f（x）﹣f（2a）﹣ a（x﹣2a），
則當(dāng)x＞2a時(shí)， g′（x）=f′（x）﹣ a=x﹣ ﹣ a= ＞0，
所以g（x）在[2a，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞2a時(shí)，g（x）＞g（2a）=0，即f（x）﹣f（2a）﹣ a（x﹣2a）＞0，
故 ＞ a．