Question

【題目】已知橢圓的長軸長為4，且短軸長是長軸長的一半．

（1）求橢圓的方程；

（2）經過點作直線，交橢圓于，兩點．如果恰好是線段的中點，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據題意，由橢圓的幾何性質分析可得a、b的值，將a、b的值代入橢圓方程即可得答案；

（2）根據題意，設直線l的方程為：，將直線與橢圓的方程聯立，分析可得，設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數的關系以及中點坐標公式分析可得，解可得k的值，代入直線方程即可得答案．

（1）根據題意，橢圓的長軸長為4，且短軸長是長軸長的一半．

即，則，

，則，

故橢圓的方程為；

（2）由（1）得故橢圓的方程為：，設直線l的方程為：，

將直線代入橢圓方程，得，

設，，則，

恰好是線段的中點，，即，

解得，

則直線的方程為，變形可得．