Question

如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′內接于高為

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的圓柱中，已知∠ACB=90°，AA′=

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，BC=AC=1，O為AB的中點．
求（1）圓柱的全面積；
（2）異面直線AB′與CO所成的角的大小；
（3）求二面角A′-BC-A的大小．

Answer 1

分析：（1）先由等腰直角三角形的特征求得圓柱底面半徑，再利用圓柱側面積公式和底面積公式求解．
（2）通過圓柱的結構特征可知co⊥平面ABB′A′，從而有co⊥AB′，得到∠COO′=90°，從而得到結論．
（3）由CB⊥平面A′AC，易得BC⊥CA′，可知∠A′CA是二面角的平面角，用正切函數可求得結論．

解答：解：（1）根據題意：底面半徑為：r=

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，
∴S=2πr²+2πrh=3π；

（2）∵co⊥平面ABB′A′
∴co⊥AB′
∴∠COO′=90°
∴異面直線AB′與CO所成的角是90°

（3）∵CB⊥平面A′AC，
∴BC⊥CA′，
∴∠A′CA是二面角的平面角
∴A′CA=arctan

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點評：本題主要考查圓柱的幾何特征，異面直線所成的角及二面角問題，同時，還考查了轉化思想和學生的運算能力，屬中檔題．