Question

已知數列{a_n}中，S_n是{a_n}的前n項和，且S_n是2a與-2na_n的等差中項，其中a是不等于零的常數．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想a_n的表達式，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

分析：（1）通過n=1，2，3，利用S_n=a-na_n，求出a₁，a₂，a₃的值即可．
（2）根據（1）數列前3項的數值特征，猜想a_n的表達式，利用數學歸納法加驗證n=1時猜想成立，然后假設n=k時猜想成立，證明n=k+1時猜想也成立．

解答：解：（1）由題意S_n=a-na_n，…（1分）
當n=1時，S₁=a₁=a-a₁，∴a1=

a

2

；            …（2分）
當n=2時，S₂=a₁+a₂=a-2a₂，∴a2=

a

6

；      …（3分）
當n=3時，S₃=a₁+a₂+a₃=a-3a₃，∴a3=

a

12

；  …（4分）
（2）猜想：an=

a

n(n+1)

(n∈N*)．…（6分）
證明：①當n=1時，由（1）可知等式成立；             …（7分）
②假設n=k（k≥1，k∈N^*）時等式成立，即：ak=

a

k(k+1)

，…（8分）
則當n=k+1時，a_k+1=S_k+1-S_k=a-（k+1）a_k+1-（a-ka_k），
∴(k+2)ak+1=kak=

a

(k+1)

，∴ak+1=

a

(k+1)(k+2)

=

a

(k+1)[(k+1)+1]

，
即n=k+1時等式也成立．…（14分）
綜合①②知：an=

a

n(n+1)

對任意n∈N^*均成立．…（15分）

點評：本題的考點是數學歸納法，主要考查已知數列的遞推關系式，求出數列的前幾項，猜想通項公式，利用數學歸納法證明猜想成立，注意數學歸納法證明時，必須用上假設．證明當n=k+1時，猜想也成立，是解題的難點和關鍵．