Question

如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個頂點A、B及CD的中點P處，AB=20km，BC=10km。為了處理三家工廠的污水，現要在該矩形區域上（含邊界），且與A、B等距離的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO、BO、PO。設排污管道的總長度為ykm。

（1）按下列要求建立函數關系：
（i）設∠BAO=θ（rad），將y表示為θ的函數；
（ii）設PO=x（km），將y表示成x的函數。
（2）請你選用（1）中的一個函數關系，確定污水處理廠的位置，使鋪設的排污管道的總長度最短。

Answer 1

解：（1）（i）如圖，延長PD交AB于點Q 由題設可知 AO=BO，PO=10-OQ 在Rt△AQO中， 所以 又易知 故y用θ表示的函數為。
（ii）由題設可知，在Rt△AQO中 則 顯然0≤x≤10，所以y用x表示的函數為 ； （2）選用（1）中的函數關系 來確定符合要求的污水處理廠的位置 因為 所以 由y'=0得 因故 當時，y'<0 當時，y'>0， 所以函數y在時取得極小值，這個極小值就是函數y在上的最小值 當時， 因此，當污水處理廠建在矩形區域內且到A、B兩點的距離均為km時，鋪設的排污管道的總長度最短。