Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形， ， 是棱PD的中點，且， ．

（I）求證： ； （Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）若是上一點，且直線與平面成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）1．

【解析】試題分析：（1），，所以平面PAC；（2）建立空間直角坐標系，求出兩個法向量，平面MAB的法向量，是平面ABC的一個法向量，求出二面角；（3）設，平面MAB的法向量，解得答案。

試題解析：

證明：(I)連結AC．因為為在中，

，，

所以，所以．

因為AB//CD，所以．

又因為地面ABCD，所以．因為，

所以平面PAC．

(II)如圖建立空間直角坐標系，則．

因為M是棱PD的中點，所以．

所以，． 設為平面MAB的法向量，

所以，即，令，則，

所以平面MAB的法向量．因為平面ABCD，

所以是平面ABC的一個法向量．

所以．因為二面角為銳二面角，

所以二面角的大小為．

(III)因為N是棱AB上一點，所以設，．

設直線CN與平面MAB所成角為，

因為平面MAB的法向量，

所以．

解得，即，，所以．